Question

如圖，直線y=kx-1與x軸、y軸分別交于B、C兩點，tan∠OCB=

1

2

．
（1）求B點的坐標和k的值；
（2）若點A（x，y）是第一象限內的直線y=kx-1上的一個動點．當點A運動過程中，試寫出△AOB的面積S與x的函數關系式；
（3）探索：在（2）的條件下：
①當點A運動到什么位置時，△AOB的面積是

1

4

；
②在①成立的情況下，x軸上是否存在一點P，使△POA是等腰三角形？若存在，請寫出滿足條件的所有P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：本題考查一次函數的綜合應用，在（1）中需根據OC=1求出B點坐標，再利用待定系數法求出k值；（2）中利用把△AOB的面積表示出來，在根據x與y之間的關系代入整理；（3）代入求值即可，同時在查找等腰三角形的滿足P點的坐標時要根據等腰三角形的性質查找．

解答：解：（1）∵y=kx-1與y軸相交于點C，
∴OC=1；
∵tan∠OCB=

1

2

=

OB

OC

，
∴OB=

1

2

；
∴B點坐標為：(

1

2

，0)；
把B點坐標為：(

1

2

，0)代入y=kx-1得：k=2；

（2）∵S=

1

2

•OB•|y|，y=kx-1，
∴S=

1

2

×

1

2

（2x-1）；
∴S=

1

2

x-

1

4

；

（3）①當S=

1

4

時，

1

2

x-

1

4

=

1

4

，
∴x=1，y=2x-1=1；
∴A點坐標為（1，1）時，△AOB的面積為

1

4

；
②存在．
滿足條件的所有P點坐標為：
P₁（1，0），P₂（2，0），P₃（

2

，0），P₄（-

2

，0）．（12分）
（注：每題只給出一種解法，如有不同解法請參照評分意見給分）

點評：本題是函數與三角形相結合的問題，在圖形中滲透運動的觀點是中考中經常出現的問題．