Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC為弦，點D是弧BC的中點，過點D作⊙O的切線交AC的延長線于點E．

（1）判斷DE與AE的位置關系，并說明理由；

（2）求證：AB=AE+CE．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

（1）連接OD，由切線的性質得到OD⊥DE，因為點D是劣弧BC的中點，所以弧CD=弧BD，再根據圓周角定理得到∠ADO=∠EAD，根據平行線的判定和性質得到DE⊥AE；

（2）連接CD、BD,過點D作DF⊥AB垂足為F. 根據全等三角形的判定（HL）和性質進行求解，即可得到答案.

解：（1）DE⊥AE.

連接OD.

∵DE是⊙O的切線

∴OD⊥DE

∴∠ODE=90°

∵點D是劣弧BC的中點

∴弧CD=弧BD

∴∠EAD=∠DAB

∵OD=OA

∴∠ADO=∠DAB

∴∠ADO=∠EAD

∴OD∥AE

∴∠E=180°-∠ODE=90°

∴DE⊥AE

（2）連接CD、BD,過點D作DF⊥AB垂足為F.

∵DF⊥AB，DE⊥AE

∴∠ADF=∠E=90°

∵∠EAD=∠DAB,AD=AD

∴△ADE≌△ADF

∴AF=AE,DE=DF

∵弧CD=弧BD∴CD= BD

在Rt△BDF和Rt△CDE中，DE=DF ,CD= BD

∴Rt△BDF≌Rt△CDE

∴CE=BF

∵AB=AF+BF

∴AB=AE+CE.