Question

【題目】【操作發現】如圖 1，△ABC 為等邊三角形，點 D 為 AB 邊上的一點，∠DCE=30°，將線段 CD 繞點 C 順時針旋轉 60°得到線段 CF，連接 AF、EF. 請直接 寫出下列結果：

① ∠EAF的度數為__________；

② DE與EF之間的數量關系為__________；

【類比探究】如圖 2，△ABC 為等腰直角三角形，∠ACB=90°，點 D 為 AB 邊上的一點∠DCE=45°，將線段 CD 繞點 C 順時針旋轉 90°得到線段 CF，連接 AF、EF.

①則∠EAF的度數為__________；

② 線段 AE，ED，DB 之間有什么數量關系？請說明理由；

【實際應用】如圖 3，△ABC 是一個三角形的余料.小張同學量得∠ACB=120°，AC=BC， 他在邊 BC 上取了 D、E 兩點，并量得∠BCD=15°、∠DCE=60°，這樣 CD、CE 將△

ABC 分成三個小三角形，請求△BCD、△DCE、△ACE 這三個三角形的面積之比.

Answer 1

【答案】 120° DE=EF 90°

【解析】試題分析：（1）①由等邊三角形的性質得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出∠ACF=∠BCD，證明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；

②證出∠DCE=∠FCE，由SAS證明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；

（2）①由等腰直角三角形的性質得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，證出∠ACF=∠BCD，由SAS證明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；

②證出∠DCE=∠FCE，由SAS證明△DCE≌△FCE，得出DE=EF；在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出結論．

（3）把△BCD繞點C順時針旋轉120°得到△ACF，則可得△ACF≌△BCD，△FCE≌△DEC，得到AF=BD，EF=ED，△AEF是含30°角的直角三角形，S△BCD：S△DCE：S△ACE=BD：ED：AE= AF：EF：AE，即可得到答案．

試題解析：解：（1）①∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°．∵∠DCF=60°，∴∠ACF=∠BCD．在△ACF和△BCD中， ，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；

②DE=EF．理由如下：

∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，∴∠FCE=60°﹣30°=30°，∴∠DCE=∠FCE．在△DCE和△FCE中， ，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF；

（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°．∵∠DCF=90°，∴∠ACF=∠BCD．在△ACF和△BCD中， ，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；

②AE2+DB2=DE2，理由如下：

∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，∴∠FCE=90°﹣45°=45°，∴∠DCE=∠FCE．在△DCE和△FCE中， ，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF．在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2．又∵AF=DB，∴AE2+DB2=DE2．

（3）【實際應用】把△BCD繞點C順時針旋轉120°得到△ACF，則△ACF≌△BCD．∵∠ACB=120°，AC=BC ，∴∠B=∠C=30°，∴∠CDE=∠B+∠BCD=30°+15°=45°，∴∠CDB=180°－45°=135°．∵△ACF≌△BCD，∴AE=DB，FC=DC，∠FCA=∠BCD=15°，∠FAC=∠B=30°，∠ACF=∠BDC=135°，∴∠FCE=∠ECD=60°．∵FC=DC，EC=EC，∴△FCE≌△DEC，∴EF=ED，∠CFE=∠CDE=45°，∴∠AFE=135°－45°=90°．∵∠FAE=30°+30°=60°，∴∠AEF=30°，∴AF：EF：AE=1： ：2，∴S△BCD：S△DCE：S△ACE=BD：ED：AE= AF：EF：AE=1： ：2．