Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為3cm，P，Q分別從B，A出發沿BC，AD方向運動，P點的運動速度是1cm/秒，Q點的運動速度是2cm/秒，連接A，P并過Q作QE⊥AP垂足為E．

（1）求證：△ABP∽△QEA；
（2）當運動時間t為何值時，△ABP≌△QEA；
（3）設△QEA的面積為y，用運動時刻t表示△QEA的面積y（不要求考t的取值范圍）．（提示：解答（2）（3）時可不分先后）

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD為正方形；

∴∠BAP+∠QAE=∠B=90°，

∵QE⊥AP；

∴∠QAE+∠EQA=∠AEQ=90°

∴∠BAP=∠EQA，∠B=∠AEQ；

∴△ABP∽△QEA（AA）

（2）

解：∵△ABP≌△QEA；

∴AP=AQ（全等三角形的對應邊相等）；

在RT△ABP與RT△QEA中根據勾股定理得AP2=32+t2，AQ2=（2t）2

即32+t2=（2t）2

解得t1= ，t2=﹣ （不符合題意，舍去）

答：當t取 時△ABP與△QEA全等

（3）

解：由（1）知△ABP∽△QEA；

∴ =（ ）2

∴ =（ ）2

整理得：y= ．

【解析】本題主要考查的是相似三角形的綜合應用，解答本題主要應用了正方形的性質、全等三角形的性質和判定、勾股定理是解題的關鍵．（1）根據正方形的性質和相似三角形的判定和性質證明即可；（2）根據全等三角形的判定和性質，利用勾股定理解答即可；（3）根據相似三角形的性質得出函數解析式即可．
【考點精析】利用勾股定理的概念和正方形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．