Question

【題目】如圖1，將兩個等腰三角形和拼合在一起，其中，，.

（1）操作發現

如圖2，固定，把繞著頂點旋轉，使點落在邊上.

填空：線段與的關系是①位置關系：______；②數量關系：______

（2）變式探究

當繞點旋轉到圖3的位置時，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由；

（3）解決問題

如圖4，已知線段，線段，以為邊作一個正方形，連接，隨著邊的變化，線段的長也會發生變化.請直接寫出線段的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①，②；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）延長交于點.依據證明，由全等三角形的性質可得到，然后再由，，可得到；

（2）如圖2所示：記與的交點為，與的交點為.先證明，然后依據證明，由全等三角形的性質可得到，然后由，，可證明；

（3）過點作，取，連結，先在等腰直角中求得的長，然后依據三角形的三邊關系可求得的取值范圍，最后依據證明，由全等三角形的性質得到，故此可求得的取值范圍.

解：（1）延長交于點.

在和中，，

∴.

∴，.

又∵，

∴.

∴.

故答案為：，.

（2）如圖2所示：記與的交點為，與的交點為.

∵，

∴，即.

在和中，，

∴.

∴，.

又∵，

∴.

∴.

（3）如圖3所示：過點作，取，連結.

∵，，

∴.

∵，，

∴.

∵，

∴，即.

在和中，

∴.

∴.

∴.