Question

【題目】如圖，已知拋物線經過A（1，0），B（0，3）兩點，對稱軸是x=﹣1．

（1）求拋物線對應的函數關系式；

（2）點P在y軸上，點M在x軸正方向上，過點M作x軸的垂線交拋物線于點C，OP=3OM．

①當四邊形OMCP為矩形時，求OM的長；

②過點C作x軸的平行線，交拋物線于另一點D，求點P在直線CD的下方時，求CD的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：y=－（x+1）2+4或；

（2）①當OM=時，四邊形OMCP為矩形；

②點P在直線CD的下方時，CD的取值范圍是2＜CD＜．

【解析】解：（1）根據題意，設拋物線的解析式為：y=a（x+1）2+k，

∵點A（1，0），B（0，3）在拋物線上，

∴，

解得：a=﹣1，k=4，

∴拋物線的解析式為：y=－（x+1）2+4或．

（2）①∵當四邊形OMCP為矩形時，設OM= t，則OP=3 t，

則有OP=MC，即3t=－（t+1）2+4，

整理得：t2+5t﹣3=0，

解得t=，由于t=＜0，故舍去，

∴當OM=時，四邊形OMCP為矩形；

②∵設OM= t時，函數y=－（t+1）2+4的對稱軸為，

∴點C到直線的距離為t+1．

∴CD=2 t+2．

∵當OM=時，四邊形OMCP為矩形，

此時OP=，點P在CD上，

∴點P在直線CD的下方時，t =OM＜．

∵CD=2 t+2，

∴CD＜

又∵點C與點B重合時, CD=2，點M在x軸正方向上，

∴求點P在直線CD的下方時，CD的取值范圍是2＜CD＜．