Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點。

（1）求點A、B、C的坐標；

（2）點M（m，0）為線段AB上一點（點M不與點A、B重合），過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N，可得矩形PQNM．如圖，點P在點Q左邊，試用含m的式子表示矩形PQNM的周長；

（3）當矩形PQNM的周長最大時，m的值是多少？并求出此時的△AEM的面積。

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（1，0）；（2）矩形PMNQ的周長=﹣2m2﹣8m+2；（3）m=﹣2，S=.

【解析】

試題（1）利用函數圖象與坐標軸的交點的求法，求出點A，B，C的坐標；

（2）先確定出拋物線對稱軸，用m表示出PM，MN即可；

（3）由（2）得到的結論判斷出矩形周長最大時，確定出m，進而求出直線AC解析式，即可；

試題解析：（1）由拋物線y=﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3）．

令y=0，則0=﹣x2﹣2x+3，

解得，x=﹣3或x=l，

∴A（﹣3，0），B（1，0）．

（2）由拋物線y=﹣x2﹣2x+3可知，對稱軸為x=﹣1．

∵M（m，0），

∴PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，

∴矩形PMNQ的周長=2(PM+MN)=(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2=﹣2m2﹣8m+2．

（3）∵﹣2m2﹣8m+2=﹣2(m+2)2+10，

∴矩形的周長最大時，m=﹣2．

∵A(﹣3，0)，C(0，3)，設直線AC的解析式y=kx+b，

∴，解得k=l，b=3，

∴解析式y=x+3，令x=﹣2，則y=1，

∴E(﹣2，1)，

∴EM=1，AM=1，

∴S=AM×EM=.