Question

已知：△ABC的兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個實數根，第三邊BC的長為5．
（1）k為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形？
（2）k為何值時，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周長．

Answer 1

（1）∵△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，BC=5，
∴AB²+AC²=25，
∵AB、AC的長是關于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個實數根，
∴AB+AC=2k+3，AB•AC=k²+3k+2，
∴AB²+AC²=（AB+AC）²-2AB•AC，
即（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25，
解得k=2或-5（舍去負數）；

（2）∵△ABC是等腰三角形；
∴當AB=AC時，△=b²-4ac=0，
∴（2k+3）²-4（k²+3k+2）=0
解得k不存在；
當AB=BC時，即AB=5，
∴5+AC=2k+3，5AC=k²+3k+2，
解得k=3或4，
∴AC=4或6
∴△ABC的周長為14或16．