Question

在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的動點（不與A，B重合），過M點作MN∥BC交AC于點N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內作內接矩形AMPN．
設AM=x．
（1）用含x的代數式表示△MNP的面積S；
（2）在動點M的運動過程中，記△MNP與梯形BCNM重合部分的面積為y，試求關于y的函數表達式，并求 x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

(1) S=•x•x=x²，（0＜x≤8）；(2) 當x=時，y有最大值，最大值為8．

試題分析：（1）先證明△AMN∽△ABC，則可根據相似三角形的對應邊成比例求AN，然后由三角形的面積公式求得用x的代數式表示的△AMN的面積S；
（3）先求出P點在BC上時AM的值，然后進行討論：當0＜x≤4時，y=S=•x•x=x²，根據二次函數的性質得到x=4，y的最大值為6；當4＜x≤8時，PM與PN分別交BC于E、F，y=S梯形MEFN=S△PMN-S△PEF，利用矩形的性質可表示出PN=AM=x；再由平行四邊形BFNM的性質解得FN=8-x，PF=2x-8，則可利用相似三角形Rt△PEF∽Rt△ABC的性質求得S△PEF值；然后寫出y與x的解析式，再根據二次函數的性質求出y的最大值，最后綜合兩種情況即可．
（1）∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
即，解得AN=x，
∴△AMN的面積=•x•x=x²，
∵四邊形AMPN是矩形，
∴S=•x•x=x²，（0＜x≤8）；
（2）若P點在BC上時，
∵四邊形AMPN是矩形，
∴O點為AP的中點，
而MN∥BC，
∴MN為△ABC的中位線，此時AM=4，
當0＜x≤4時，y=S=•x•x=x²，此時x=4，y的最大值為6；
當4＜x≤8時，PM與PN分別交BC于E、F，如圖，
y=S_梯形MEFN=S_△PMN-S_△PEF，
∵四邊形AMPN是矩形，
∴PN=AM=x，
∵MN∥BC，
∴四邊形BFNM是平行四邊形，
∴FN=BM=8-x，PF=PN-FN=x-（8-x）=2x-8，
∵Rt△PEF∽Rt△ACB，
∴，
而S_△ABC=×8×6=24，
∴S_△PEF=（x-4）²，
∴y=x²-（x-4）²
=-x²+12x-24，
=-（x-）²+8（4＜x≤8），
∵a=-＜0，
∴當x=時，y有最大值，最大值為8，
綜上所述，當x=時，y有最大值，最大值為8．