Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線與x軸、y軸的交點分別為A、B，將∠OBA對折，使點O的對應點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C．

（1）直接寫出點C的坐標，并求過A、B、C三點的拋物線的解析式；

（2）若拋物線的頂點為D，在直線BC上是否存在點P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；

（3）設拋物線的對稱軸與直線BC的交點為T，Q為線段BT上一點，直接寫出|QA﹣QO|的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點C的坐標為（3，0）．．（2）直線BC上不存在符合條件的點P，理由見解析（3）0≤|QA﹣QO|≤4．

【解析】

試題分析：（1）利用直線分別求出點A、B的坐標，然后利用勾股定理或相似三角形的性質求出線段OC的長即可得到點C的坐標，然后利用待定系數法可求出拋物線的解析式；（2）利用平行四邊形的性質求出符合條件的點P的坐標，然后代入直線BC的解析式為y=﹣2x+6檢驗即可；（3）當QA=QO時，|QA﹣QO|的值最小=0，當Q在AH的延長線與直線BC交點時，此時|QA﹣QO|最大=4.

試題解析：（1）點C的坐標為（3，0）．

∵點A、B的坐標分別為A（8，0），B（0，6），

∴可設過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=a（x﹣3）（x﹣8）．

將x=0，y=6代入拋物線的解析式，得．

∴過A、B、C三點的拋物線的解析式為．

（2）可得拋物線的對稱軸為直線，頂點D的坐標為，

設拋物線的對稱軸與x軸的交點為G．

直線BC的解析式為y=﹣2x+6.

解法一：

如圖，取OA的中點E，

作點D關于點E的對稱點P，作PN⊥x軸于點N．

則∠PEN=∠DEG，∠PNE=∠DGE，PE=DE．

可得△PEN≌△DEG．

由，可得E點的坐標為（4，0）．

NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG=．

∴點P的坐標為．

∵x= 時，， ∴點P不在直線BC上．

∴直線BC上不存在符合條件的點P．

解法二：如圖，作OP∥AD交直線BC于點P，

連接AP，作PM⊥x軸于點M．

∵OP∥AD，

∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，

即． 解得． 經檢驗是原方程的解．

此時點P的坐標為．

但此時，OM＜GA．

∵，

∴OP＜AD，即四邊形的對邊OP與AD平行但不相等，

∴直線BC上不存在符合條件的點P；

（3）|QA﹣QO|的取值范圍是．

當Q在OA的垂直平分線上與直線BC的交點時，（如點K處），

此時OK=AK，則|QA﹣QO|=0，

當Q在AH的延長線與直線BC交點時，此時|QA﹣QO|最大，

直線AH的解析式為：y=﹣x+6，直線BC的解析式為：y=﹣2x+6，

聯立可得：交點為（0，6），∴OQ=6，AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，

∴|QA﹣QO|的取值范圍是：0≤|QA﹣QO|≤4．