Question

【題目】一副三角板如圖擺放，點F是 45°角三角板△ABC的斜邊的中點，AC＝4．當 30°角三角板DEF的直角頂點繞著點F旋轉時，直角邊DF，EF分別與AC，BC相交于點 M， N．在旋轉過程中有以下結論：①MF＝NF；②CF與MN可能相等嗎；③MN 長度的最小值為 2；④四邊形CMFN的面積保持不變； ⑤△CMN面積的最大值為 2．其中正確的個數是_________.（填寫序號）.

Answer 1

【答案】①②④⑤

【解析】

利用兩直角三角形的特殊角、性質及旋轉的性質分別判斷每一個結論，找到正確的即可．

解：①連接CF，

∵F為AB中點，AC=BC，∠ACB=90°，

∴AF=BF=CF，CF⊥AB，

∴∠AFM+∠CFM=90°．

∵∠DFE=90°，∠CFM+∠CFN=90°，

∴∠AFM=∠CFN．

同理，∵∠A+∠MCF=90°，∠MCF+∠FCN=90°，

∴∠A=∠FCN，

在△AMF與△CNF中，

∴△AMF≌△CNF（ASA），

∴MF=NF．

故①正確；

∴②∵F是AB中點，△ABC是等腰直角三角形，
,

當M，N分別是AC，BC中點時，,

CF=MN，故正確；

③連接MN，當M為AC的中點時，CM=CN，根據邊長為4知CM=CN=2，此時MN最小，最小值為，故③錯誤；

④當M、N分別為AC、BC中點時，四邊形CMFN是正方形．

∵△AMF≌△CNF，

∴S△AMF=S△CNF

∴S四邊形CDFE=S△AFC．

故④正確；

⑤由于△MNF是等腰直角三角形，因此當FM最小時，FN也最小；

即當DF⊥AC時，FM最小，此時，

，

當△CMN面積最大時，此時△FMN的面積最小．

此時S△CMN=S四邊形CMFN-S△FMN=S△AFC-S△FMN=4-2=2，

故⑤正確．