Question

【題目】（1）觀察下列各式： ， ， ， ，……，由此可推斷 = .

（2）請猜想能表示（1）的特點的一般規律，用含的等式表示出來為 = .（表示正整數）

（3）請參考（2）中的規律計算：

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）0

【解析】試題分析：

觀察上述式子可知，①這些式子的分子均為1；②第一步變形是將分母分解為兩個相鄰正整數之積的形式，第二步變形是將第一步分解出來的較小的因數作為分母組成一個新的分子為1的分數，減去較大的因數所組成的新分數. 觀察第(3)小題中的式子發現，這些分母可以進行因式分解，分解后會出現類似前兩小題的形式，利用規律將乘法轉化為加減法，從而達到簡化運算的目的.

試題解析：

(1) 根據對式子的觀察，可以將分母72分解為，再按規律寫出： ；

(2) 用m表示由原分母分解出來的較小的因數，用m+1表示較大的因數，得： ；

(3) 先對各項分母進行因式分解：

原式=，

第一項和第三項可以直接利用本題中的規律進行變形：

原式=

對于中間一項而言，

∵，

∴，

因此，原式=

=

=0.

故本題第(1)，(2)小題依次填寫： ， ； ， ；第(3)小題的計算結果為0.