Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象經過正方形ABCD的頂點A和B，點C、D的坐標分別是（0，﹣1）和（4，﹣3），邊AD，BC分別交x軸于點E、F．

（1）填空：正方形的邊長為　 　；

（2）求反比例函數y＝的解析式；

（3）若點M是直線BC上一動點，作MN∥x軸，交反比例函數y＝的圖象于點N，過點M，N分別向x軸作垂線，垂足分別為P、Q，得到矩形MPQN，設點M的橫坐標為a．

①填空：點N的坐標為　 　；（用含a的代數式表示）

②填空：若矩形MPQN的面積為6，則點M的橫坐標為　 　．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）（3）0，或

【解析】

(1)由點C，D的坐標，利用兩點間的距離公式可求出CD的長，此問得解；

(2)過點B作BB′⊥y軸于點B′，過點D作DD′⊥y軸于點D′，則△B′BC≌△D′CD(AAS)，利用全等三角形的性質可求出BB′，CB′，OB′的長度，進而可得出點B的坐標，由點B的坐標，利用待定系數法即可求出反比例函數解析式；

(3)①由點B，C的坐標，利用待定系數法可求出直線BC的解析式，由點M的橫坐標為a，利用一次函數圖象上點的坐標特征及反比例函數圖象上點的坐標特征，可得出點M，N的坐標；

②由點M，N的坐標，可得出MN，MP的長，由矩形的面積公式結合矩形MPQN的面積為6，可得出關于a的方程，解之經檢驗后即可得出結論．

(1)∵點C的坐標為(0，﹣1)，點D的坐標為(4，﹣3)，

∴CD＝，

故答案為：2；

(2)過點B作BB′⊥y軸于點B′，過點D作DD′⊥y軸于點D′，如圖1所示，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠BCD＝90°，BC＝CD．

∵∠B′BC+∠B′CB＝90°，∠B′CB+∠D′CD＝90°，

∴∠B′BC＝∠D′CD，

在△B′BC和△D′CD中，

，

∴△B′BC≌△D′CD(AAS)，

∴BB′＝CD′＝2，CB′＝DD′＝4，

∴OB′＝CB′﹣OC＝3，

∴點B的坐標為(2，3)，

將B(2，3)代入y＝，得：3＝，

∴k＝6，

∴反比例函數的解析式為y＝；

(3)①設直線BC的解析式為y＝mx+n(m≠0)，

將B(2，3)，C(0，﹣1)代入y＝mx+n，得：

，解得：，

∴直線BC的解析式為y＝2x﹣1，

∵點M的橫坐標為a，

∴點M的坐標為(a，2a﹣1)，

∵MN∥x軸，且點N反比例函數y＝的圖象上，

∴點N的坐標為(，2a﹣1)，

故答案為：(，2a﹣1)；

②∵點M的坐標為(a，2a﹣1)，點N的坐標為(，2a﹣1)，

∴MN＝|a﹣|，MP＝|2a﹣1|，

∵矩形MPQN的面積為6，

∴|a﹣||2a﹣1|＝6，即2a2﹣a＝0或2a2﹣a﹣12＝0，

解得：a1＝0，a2＝，a3＝，a4＝，

經檢驗，a1＝0，a3＝，a4＝是原方程的解，且符合題意，a2＝是增根，舍去，

故答案為：0，或．