Question

【題目】如圖，已知射線OC為∠AOB的平分線，且OA＝OB，點P是射線OC上的任意一點，連接AP、BP．

（1）求證：△AOP≌△BOP；

（2）若∠AOB＝50°，且點P是△AOB的外心，求∠APB的度數；

（3）若∠AOB＝50°，且△OAP為鈍角三角形，直接寫出∠OAP的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠APB＝100°；（3）0°＜∠OAP＜ 65°或90°<∠OAP<155°．

【解析】

（1）根據“SAS”證明即可；

（2）根據三角形外心定義得到PA＝PB＝PO，根據等腰三角形性質和三角形的外角性質求出∠APC＝50°，根據∠APO＝∠BPO即可求解；

（3）根據題意得，分為鈍角和為鈍角兩種情況討論即可．

解：（1）∵OP平分∠AOB，

∴∠AOP＝∠BOP，

又∵OA＝OB，OP＝OP，

∴△AOP≌△BOP；

（2）∵∠AOB＝50°，

∴∠AOP＝∠BOP＝25°，

∵點P是△AOB的外心，

∴PA＝PB＝PO，

∴∠A＝∠AOP＝25°，

∴∠APC＝∠A＋∠AOP＝50°，

∵△AOP≌△BOP，

∴∠APO＝∠BPO，

∴∠BPC＝∠APC＝50°，

∴∠APB＝100°；

（3）∵∠AOB＝50°，

∴ ，

∴，

∴，

如圖1，當為鈍角時，

90°<∠OAP<155° ；

如圖2，當為鈍角時，

90°<∠OPA<155°，

即90°<<155°，

∴0°＜∠OAP＜ 65°

∴∠OAP的取值范圍為：90°<∠OAP<155°或0°＜∠OAP＜ 65°．