Question

【題目】如圖，是等邊三角形，是中線，延長至點，使.

（1）求證：；

（2）尺規作圖：過點作垂直于，垂足為；（保留作圖留痕跡，不寫作法）

（3）若，求的周長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）作圖見解析；（3）36.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質得出∠DBC=30°，∠ACB=60°，根據等邊對等角和三角形外角的性質得到∠E=30，根據等角對等邊即可得出結論；

（2）根據垂線的尺規作圖方法，過點D作DF⊥BE，垂足為F；

（3）根據直角三角形兩銳角互余求出∠CDF=30°，根據30度角所對直角邊等于斜邊的一半得到CD的長，進而得到AC的長，即可得出結論．

（1）∵是等邊三角形，是中線，∴，．

∵，∴．

又∵，∴．

∴．∴．

（2）如圖所示．

（3）∵，由（1）知，，∴垂直平分．

∴在中，．∴．

∵，∴．∴．