Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知A（3，0），且M（1，﹣ ）是拋物線上另一點．

（1）求a、b的值；
（2）連結AC，設點P是y軸上任一點，若以P、A、C三點為頂點的三角形是等腰三角形，求P點的坐標；
（3）若點N是x軸正半軸上且在拋物線內的一動點（不與O、A重合），過點N作NH∥AC交拋物線的對稱軸于H點．設ON=t，△ONH的面積為S，求S與t之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（3，0），且M（1，﹣ ）代入y=ax2+bx﹣2得 ，

解得：

（2）

解：在y=ax2+bx﹣2中，當x=0時．y=﹣2，

∴C（0，﹣2），

∴OC=2，

如圖，設P（0，m），則PC=m+2，OA=3，AC= = ，

①當PA=CA時，則OP1=OC=2，

∴P1（0，2）；

②當PC=CA= 時，即m+2= ，∴m= ﹣2，

∴P2（0， ﹣2）；

③當PC=PA時，點P在AC的垂直平分線上，

則△AOC∽△P3EC，

∴ = ，

∴P3C= ，

∴m= ，

∴P3（0， ），

④當PC=CA= 時，m=﹣2﹣ ，

∴P4（0，﹣2﹣ ），

綜上所述，P點的坐標1（0，2）或（0， ﹣2）或（0， ）或（0，﹣2﹣ ）

（3）

解：過H作HG⊥OA于G，設HN交Y軸于M，

∵NH∥AC，

∴ ，

∴ ，

∴OM= ，

∵拋物線的對稱軸為直線x= = ，

∴OG= ，

∴GN=t﹣ ，

∵GH∥OC，

∴△NGH∽△NOM，

∴ ，

即 = ，

∴HG= t﹣ ，

∴S= ONGH= t（ t﹣ ）= t2﹣ t（0＜t＜3）．

【解析】（1）根據題意列方程組即可得到結論；（2）在y=ax2+bx﹣2中，當x=0時．y=﹣2，得到OC=2，如圖，設P（0，m），則PC=m+2，OA=3，根據勾股定理得到AC= = ，①當PA=CA時，則OP1=OC=2，②當PC=CA= 時，③當PC=PA時，點P在AC的垂直平分線上，根據相似三角形的性質得到P3（0， ），④當PC=CA= 時，于是得到結論；（3）過H作HG⊥OA于G，設HN交Y軸于M，根據平行線分線段成比例定理得到OM= ，求得拋物線的對稱軸為直線x= = ，得到OG= ，求得GN=t﹣ ，根據相似三角形的性質得到HG= t﹣ ，于是得到結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用勾股定理的概念和平行線分線段成比例的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．