Question

【題目】已知：△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，AO＝4，CO＝2，接連接AD，BC、點H為BC中點，連接OH．

（1）如圖1所示，求證：OH＝AD且OH⊥AD；

（2）將△COD繞點O旋轉到圖2所示位置時，線段OH與AD又有怎樣的關系，證明你的結論；

（3）請直接寫出線段OH的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）結論：OH＝AD，OH⊥AD．理由見解析；（3）1≤OH≤3．

【解析】

(1)只要證明△AOD≌△BOC，即可解決問題；

（2)延長HO交AD于K．延長OH到M，使得HM＝OH，連接BM，CM．．由△AOD≌△OBM（SAS）即可解決問題；

（3）如圖2中，在△OBM中求得2≤OM≤6即可解答

（1）如圖1中，設AD交OH于K．

∵△AOB和△COD均為等腰直角三角形，

∴OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝90°，

∴△AOD≌△BOC（SAS），

∴BC＝AD，∠OBC＝∠DAC，

∵BH＝HC，∠BOC＝90°，

∴OH＝BH＝CH＝ BC，

∴OH＝ AD，∠HBO＝∠HOB，

∵∠HOB+∠AOH＝90°，

∴∠OAD+∠AOH＝90°，

∴∠AKO＝90°，

∴AD⊥OH．

（2）結論：OH＝ AD，OH⊥AD．

理由：延長HO交AD于K．延長OH到M，使得HM＝OH，連接BM，CM．

∵BH＝CH，OH＝HM，

∴四邊形BOCM是平行四邊形，

∴OC＝BM，OC∥BM，

∴∠MBO+∠BOC＝180°，

∵∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOD+∠BOC＝180°，

∴∠OBM＝∠AOD，

∵OA＝OB，

∴△AOD≌△OBM（SAS），

∴OM＝AD，∠BOM＝∠DAD，

∵∠BOM+∠AOK＝90°，

∴∠OAD+∠AOK＝90°，

∴∠OKA＝90°，

∴OH⊥AD．

（3）如圖2中，在△OBM中，∵OB＝OA＝4，BM＝OC＝2，

∴4﹣2≤OM≤4+2，

∴2≤OM≤6，

∵OM＝2OH，

∴1≤OH≤3．