Question

【題目】如圖，在ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，∠CAB=∠ACB，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AB交AC于點(diǎn)E．

（1）求證：AC⊥BD；

（2）若AB=14，cos∠CAB=，求線(xiàn)段OE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】試題分析：本題考查了解直角三角形及菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊變形的判定與性質(zhì)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，選擇合適的邊角關(guān)系，難度不大．(1)、根據(jù)∠CAB=∠ACB利用等角對(duì)等邊得到AB=CB，從而判定平行四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直即可證得結(jié)論；(2)、分別在Rt△AOB中和在Rt△ABE中求得AO和AE，從而利用OE=AE﹣AO求解即可．

試題解析：（1）∵∠CAB=∠ACB， ∴AB=CB， ∴ABCD是菱形． ∴AC⊥BD；

（2）在Rt△AOB中，cos∠CAB==，AB=14， ∴AO=14×=，

在Rt△ABE中，cos∠EAB==，AB=14， ∴AE=AB=16， ∴OE=AE﹣AO=16﹣=．