Question

2．如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F．
（1）求證：四邊形AEDF是菱形；
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF是正方形？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F，可以判斷四邊形AEDF是平行四邊形，再根據角平分線的性質和平行線的性質即可證明結論成立；
（2）根據有一個角是直角的菱形是正方形可以解答本題．

解答 （1）證明：∵DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠EAD=∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠ADF=∠FAD，
∴FA=FD，
∴四邊形AEDF是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；
（2）解：當△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，時，四邊形AEDF是正方形，
理由：∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
由（1）知四邊形AEDF是菱形，
∴四邊形AEDF是正方形（有一個角是直角的菱形是正方形）．

點評 本題考查正方形的判定、菱形的判定與性質，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的需要的條件，利用正方形的判定、菱形的判定與性質解答．