Question

操作：如圖1，點O為線段MN的中點，直線PQ與MN相交于點O，請利用圖1畫出一對以點O為對稱中心的全等三角形．
探究：如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長線相交于點F．試探究線段AB與AF、
FC之間的等量關系，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）在直線PQ上，取線段OE=OF，OM=ON，∠MOE=∠NOF，如下所示：
則△MOE≌△NOF．

（2）結論：AB=AF+FC；
證明過程，具體如下：
證明：延長AE交DF的延長線于點M，
∵E為BC的中點，∴BE=CE，
∵AB∥CD，∴∠BAE=∠M，
∵∠AEB=∠MEC，∴△ABE≌△MCE，
∴AB=MC，
∵∠BAE=∠EAF，∴∠EAF=∠M．
∴MF=AF，
∵MC=MF+CF，∴AB=AF+FC．
分析：（1）根據全等三角形的判定中的邊角邊為作圖的理論依據，來畫出全等三角形．
（2）本題可通過作輔助線將AB，FC，AF構建到一個相關聯的三角形中，可延長AE、DF交于點M，不難證明△ABE≌△MCE，那么AB=CF，現在只要將AF也關聯到三角形BEC中，我們發現，∠BAE=∠EAF，∠BAE=∠M（AB∥CD），那么三角形AMF就是個等腰三角形，AF=MF，因此AB=MC=MF+FC=AF+FC．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質的知識點．題中作圖的理論依據是全等三角形的判定中的邊角邊．