Question

（2011•桃江縣模擬）如圖，BD是⊙O的直徑，A、C是⊙O上的兩點，AE⊥CD交CD的延長線于點E，AD平分∠BDE．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）若∠DBC=30°，DE=1，求BD的長．

Answer 1

分析：（1）連接OA，由OA=OD，利用等邊對等角得到一對角相等，再由DA為角平分線得到一對角相等，等量代換可得出一對內錯角相等，根據內錯角相等兩直線平行，得到OA與ED平行，根據兩直線平行得到同旁內角互補，再由AE垂直于ED，得到∠AED為直角，可得出∠OAE為直角，即AE垂直于OA，即可得到AE為圓O的切線，得證；
（2）由BD為圓O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角，得到∠BAD及∠C都為直角，在直角三角形BDC中，由∠DBC的度數，求出∠BDC的度數，再由鄰補角定義及DA為角平分線，求出∠ADE的度數，在直角三角形AED中，求出∠EAD為30°，由ED的長，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出AD=2ED，求出AD的長，再由∠BDA的度數，求出∠BAD的度數為30°，由AD的長，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出BD=2AD，即可求出BD的長．

解答：解：（1）連接OA，

∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BDE，
∴∠ODA=∠ADE，
∴∠OAD=∠ADE，
∴OA∥DE，
∴∠OAE+∠AED=180°，
∵DE⊥AE，∴∠E=90°，
∴∠OAE=90°，即AE⊥OA，
∴AE是⊙O的切線；
（2）∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BCD=∠BAD=90°，
∵∠DBC=30°，
∴∠BDC=60°，
∴∠BDE=120°
∴∠ADB=∠ADE=60°，
∴∠DAE=30°，又∠AED=90°，
∴AD=2DE=2，
在△ABD中，∠BAD=90°，∠ADB=60°，
∴∠ABD=30°，
∴BD=2AD=4．

點評：此題考查了切線的判定，平行線的判定與性質，等腰三角形的性質，含30°直角三角形的性質，以及圓周角定理，其中判定切線的方法有兩種：有點連接圓心與此點，證明直線與連線垂直；無點過圓心作直線的垂線，證明垂線段等于圓的半徑．