Question

【題目】在矩形中，，，將沿著對(duì)角線對(duì)折得到.

（1）如圖，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，求的長(zhǎng).

（2）如圖，再將沿著對(duì)角線對(duì)折得到，順次連接、、、，求：四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面積是.

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)可得AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC，由勾股定理可求AC＝5，由折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得AE＝CE，由勾股定理可求AE的長(zhǎng)，由三角形面積公式可求EF的長(zhǎng)；

（2）由折疊的性質(zhì)可得AB＝AM＝3，CD＝CN＝3，∠BAC＝∠CAM，∠ACD＝∠ACN，AC⊥DN，DF＝FN，由“SAS”可證△BAM≌△DCN，△AMD≌△CNB可得

MD＝BN，BM＝DN，可得四邊形MDNB是平行四邊形，通過證明四邊形MDNB是矩形，可得∠BND＝90°，由三角形面積公式可求DF的長(zhǎng)，由勾股定理可求BN的長(zhǎng)，即可求四邊形BMDN的面積．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形

∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC

∴AC＝＝5，

∵將Rt△ABC沿著對(duì)角線AC對(duì)折得到△AMC．

∴∠BCA＝∠ACE，

∵AD∥BC

∴∠DAC＝∠BCA

∴∠EAC＝∠ECA

∴AE＝EC

∵EC2＝ED2＋CD2，

∴AE2＝（4AE）2＋9，

∴AE＝ ，

∵S△AEC＝×AE×DC＝×AC×EF，

∴×3＝5×EF，

∴EF＝；

（2）如圖所示：

∵將Rt△ABC沿著對(duì)角線AC對(duì)折得到△AMC，將Rt△ADC沿著對(duì)角線AC對(duì)折得到△ANC，

∴AB＝AM＝3，CD＝CN＝3，∠BAC＝∠CAM，∠ACD＝∠ACN，AC⊥DN，DF＝FN，

∵AB∥CD

∴∠BAC＝∠ACD

∴∠BAC＝∠ACD＝∠CAM＝∠ACN

∴∠BAM＝∠DCN，且BA＝AM＝CD＝CN

∴△BAM≌△DCN（SAS）

∴BM＝DN

∵∠BAM＝∠DCN

∴∠BAM90°＝∠DCN90°

∴∠MAD＝∠BCN，且AD＝BC，AM＝CN

∴△AMD≌△CNB（SAS）

∴MD＝BN，且BM＝DN

∴四邊形MDNB是平行四邊形

連接BD，

由1）可知：∠EAC＝∠ECA，

∵∠AMC＝∠ADC＝90°

∴點(diǎn)A，點(diǎn)C，點(diǎn)D，點(diǎn)M四點(diǎn)共圓，

∴∠ADM＝∠ACM，

∴∠ADM＝∠CAD

∴AC∥MD，且AC⊥DN

∴MD⊥DN，

∴四邊形BNDM是矩形

∴∠BND＝90°

∵S△ADC＝×AD×CD＝×AC×DF

∴DF＝

∴DN＝

∵四邊形ABCD是矩形

∴AC＝BD＝5，

∴BN＝

∴四邊形BMDN的面積＝BN×DN＝×＝.