Question

如圖，AC為⊙O的直徑，AC=4，B、D分別在AC兩側的圓上，∠BAD=60°，BD與AC的交點為E．

(1)求∠BOD的度數及點O到BD的距離；
(2)若DE=2BE，求的值．

Answer 1

(1)120°,1；（2）.

試題分析：（1）作OF⊥BD于點F，連接OD，根據圓周角定理可得出∠DOB=120°，再由OB=OD=AC=2，可得出∠OBD的度數，也可得出OF的長度；
（2）設BE=2x，則可表示出DF、EF的長度，從而可解出x的值，在Rt△OEF中，利用三角函數值的知識可求出∠OED的度數，從而可得出cos∠OED的值．
試題解析：（1）作OF⊥BD于點F，

∵∠BAD=60°，
∴∠BOD=2∠BAD=120°，
又∵OB=OD，
∴∠OBD=30°，
∵AC為⊙O的直徑，AC=4，
∴OB=OD=2．
在Rt△BOF中，∵∠OFB=90°，OB=2，∠OBF=30°，
∴OF=OB=1，
即點O到BD的距離等于1．
（2）∵OB=OD，OF⊥BD于點F，
∴BF=DF．
由DE=2BE，設BE=2x，則DE=4x，BD=6x，EF=x，BF=3x．
∵BF=OB•cos30°=，
∴x＝，EF=，
在Rt△OEF中，∠OFE=90°，∵tan∠OED=，
∴∠OED=60°，cos∠OED=.
考點: 圓的綜合題.