Question

定理：圖1，如果∠ADB=∠ACB，那么四邊形ABCD有外接圓，也叫做A，B，C，D四點共圓．（注：本定理不需要證明）
（1）圖2，△ABC中，AC=BC，點E，F分別在線段AC，BC上運動（不與端點重合），而且CE=BF，O是△ABC的外心（外接圓的圓心，它到三角形三個頂點距離相等），試證明C，E，O，F四點共圓．（注：可以使用上述定理，也可以采用其他方法）



如果將問題2中的點C“分離”成兩個點，那么就有：
（2）圖3，在凸四邊形ABCD中，AD=BC，點E，F分別在線段AD，BC上運動（不與端點重合），而且DE=BF，直線AC，BD相交于點P，直線EF，BD相交于點Q，直線EF，AC相交于點R．當點E，F分別在線段AD，BC上運動（不與端點重合）時，探究△PQR的外接圓是否經過除點P外的另一個定點？如果是，請給出證明，并指出是哪個定點；如果不是，請說明理由．

Answer 1

證明：（1）∵OB=0C，
∴∠OCB=∠OBC，
又∵AC=BC，
∴∠OCB=∠OCA，
∴∠OBC=∠OCA，
在△ECO與△FBO中，

OC=OB ∠ECO=∠FBO CE=BF

，
∴△ECO≌△FBO，
∴∠EOC=∠FOB，又∠AOC=∠BOC，
∴∠EOF=∠COB，
又∵EO=OF，
∴∠OEF=∠OCF，
∴C，E，O，F四點共圓；

（2）由于是將問題2中的點C“分離”成兩個點，
根據圖形變換的過程，猜測△PQR的外接圓一定經過線段AC，BD垂直平分線的交點O．
下面給予證明：
顯然△ODA≌△OCB，
∴∠OBF=∠ODE，
∴△OBF≌△ODE，
∴OE=OF且∠BOF=∠DOE，
∴∠BOD=∠EOF，
∴△EOF∽△BOD∽△COA，
∴∠OBD=∠OEF=∠OCA，
∴O，B，F，Q四點共圓，O，F，C，R四點也共圓，
∴∠OFB=∠OQB=∠ORP，
∴P，Q，O，R四點共圓，即當點E和F變動時，△PQR的外接圓經過除點P外的另一個定點O．