Question

【題目】如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=4，∠B=45°．直角三角板含45°角的頂點E在邊BC上移動，一直角邊始終經過點A，斜邊與CD交于點F．若△ABE為等腰三角形，則CF的長等于_____．

Answer 1

【答案】2，4﹣3，

【解析】分析：首先理解題意，得出此題應該分三種情況進行分析，分別是AB=AE，AB=BE，AE=BE，從而得到最后答案．

詳解：作AM⊥BC，DN⊥BC，

根據已知條件可得，BM=（BC-AD）÷2，

在直角三角形ABM中，cosB=，

則AB=（BC-AD）÷2÷cosB=3，

①當AB=AE′時，如圖，

∠B=45°，∠AE′B=45°，

∴AE′=AB=3，

則在Rt△ABE′中，BE′=，

故E′C=4-3=．

易得△FE′C為等腰直角三角形，

故CF==2．

②當AB=BE″時，

∵AB=3，

∴BE″=3，

∵∠AE″B=∠BAE″=（180°-45°）÷2=67.5°，

∴∠FE″C=180°-45°-67.5°=67.5°，

∴∠CFE″=180°-∠C-∠FE″C=67.5°，

∵△E″CF為等腰三角形，

∴CF=CE″=CB-BE″=4-3；

③當AE=BE′″時，△ABE′″和△CFE′″是等腰Rt△，

∴BE′″=，

∴CE′″=

∴CF=FE′″=.