Question

【題目】如圖，在中是直徑，點是上一點，點是的中點，過點作的切線，與、的延長線分別交于點、，連接.

(1)求證：.

(2)已知的半徑為2，當為何值時，，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)當時，.理由見解析.

【解析】

（1）連接OE，由點E是的中點，過點E作⊙O的切線，可得OE⊥CD，BD∥OE，進而得出BD⊥CD；

（2）當AC=4時，連接AF，證明△AFB∽△BCD，所以，即BF=DF.

(1)如圖1，連接，

∵與相切于點，

∴，

∴.

∵點是的中點，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴.

(2)當時，.理由如下：

如圖2，連接，

∵是的直徑，

∴，

由(1)知，

∴，

∴△AFB∽△BCD，

∴，

當時，

∵的半徑為2，

∴，

∴BC=AB+AC=8，

∴，

∴，

∴.