Question

【題目】(1)如圖1，將長方形ABCD折疊，使BC落在對角線BD上，折痕為BE，點C落在點C′處，若∠ADB=48°，則∠DBE的度數為_______.

(2)小明手中有一張長方形紙片ABCD，AB=12，AD=27.

（畫一畫）

如圖2，點E在這張長方形紙片的邊AD上，將紙片折疊，使AB落在CE所在直線上，折痕設為MN(點M，N分別在邊AD，BC上)，利用直尺和圓規畫出折痕MN(不寫作法，保留作圖痕跡，).

（算一算）

如圖3：點F在這張長方形紙片的邊BC上，將紙片折疊，使FB落在線段FD上，折痕為GF，點A、B分別落在點E、H處，若△DCF的周長等于48，求DH和AG的長．

Answer 1

【答案】(1)24°；(2)見解析；DH= 9，AG=7.

【解析】

（1）利用平行線的性質求出∠DBC，再利用翻折不變性即可解決問題；

（2）[畫一畫]：連接CE，延長CE交BA的延長線于點P，作∠BPC的平分線交AD于點M，交BC于點N．折痕MN即為所求；

[算一算]：設CF=xcm，則DF=（36-x）cm，在Rt△CDF中，利用勾股定理構建方程即可解決問題；

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DBC=∠ADB，

∵∠ADB=48°，

∴∠DBC=48°，

由翻折的性質可知：∠DBE=∠DBC=24°．

（2）[畫一畫]：連接CE，延長CE交BA的延長線于點P，作∠BPC的平分線交AD于點M，交BC于點N．折痕MN即為所求；

[算一算]：設CF=x，則DF=（36-x），

∵∠C=90°，

∴CF2+CD2=DF2，

∴x2+122=（36-x）2，

∴x=16

∴CF=16，DF=36-x=20，BF=BC=CF=27-16=11，

由折疊的性質可知：BF=FH=11，∠1=∠2

∴DH=DF-FH=9，

又∵AD∥BC

∴∠2=∠3

∴DF=DG=20，

∴AG=AD-DG=27-20=7．