Question

如圖，正方形ABCD中，∠DAC的平分線交DC于點E．若P、Q分別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ能取到的最小值為4

2

時，此正方形的邊長為（　　）

A．2

B．4

C．6

D．8

Answer 1

分析：過D做DF垂直AE，延長交AD于D，由角平分線的性質可得出D′是D關于AE的對稱點，進而可知D′P′即為DQ+PQ的最小值，再根據等腰直角三角形的性質求出正方形的邊長．

解答：解：過D做DF垂直AE，延長交AD于D，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵∠DAC的平分線交DC于點E，
∴∠DAE=∠CAE，
在△DAF與△D′AF中，
∵

∠AFD=∠AFD′ AF=AF ∠DAE=∠CAE

，
∴△DAF≌△D′AF（ASA），
∴D′是D關于AE的對稱點，AD′=AD，
∴D′P′即為DQ+PQ的最小值，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′=4

2

，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′²+AP′²=AD′²，AD′²=64，
∴AD′=8．
故選D．

點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，根據題意作出輔助線是解答此題的關鍵．