Question

【題目】如圖，中，，，若點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段AE繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到.

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)；

①若，則_______ (直接寫(xiě)出答案)；

②過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，求證：；

(2)當(dāng)點(diǎn)在射線上，(如圖2) 連接與直線交于點(diǎn)，若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）①60°；②見(jiàn)解析；（2）或

【解析】

（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠EAF=90°，再根據(jù)角的和差求出∠CAE的度數(shù)，然后根據(jù)∠FAC=∠EAF-∠CAE計(jì)算即可；

②通過(guò)證明形△ADF≌△EAC得到：AD=CE，FD=AC，再利用等量代換即可證明結(jié)論成立；

（2）分兩種情況求解：①當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)F作FD⊥AG的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，易證，由（1）可知△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，可得CG=GD，AD=CE，即可求得的值，即可解題；②當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的上時(shí)．過(guò)F作FD⊥AG點(diǎn)D，與①同理即可求解．

證明：（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EAF=90°，

∵，，

∴，

∴∠FAC=90°-30°=60°；

②∵∠FAD+∠CAE=90°，∠FAD+∠AFD =90°，

∴∠CAE=∠AFD，

在△ADF和△ECA中，

，

∴△ADF≌△ECA（AAS），

∴AD=EC，FD=AC，

∴CE+CD=AD+CD=AC=FD，即EC+CD=DF；

（2）①當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)F作FD⊥AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，如圖2，

∵，BC=AC，CE=CB+BE，

∴，

由（1）知：△ADF≌△ECA，

∴AD=CE，DF=AC，

∴，

∴，

∵AC=BC，DF=AC，

∴DF=BC，

又∵∠FGD=∠BGC，∠D=∠BCG=90°，

∴△GDF≌△GCB，

∴DG=CG，

∴，

∴；

②當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的上時(shí)，過(guò)F作FD⊥AC于點(diǎn)D，如圖3，

∵， BC=CE+BE，

∴，

∵BC=AC，

∴，

由（1）知：△ADF≌△ECA，

∴AD=CE，DF=AC，

∴，

∴，

∵AC=BC，DF=AC，

∴DF=BC，

又∵∠FGD=∠BGC，∠ADF=∠BCG=90°，

∴△GDF≌△GCB，

∴DG=CG，

∴，

∴．

綜上可知，的值是或．

故答案為：或．