Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為點E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE=∠B．

（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=4，AD=3 ， AF=2 ， 求AE的長．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B
∴∠AFD=∠C
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD=AB=4，
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，
∴DE=．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=．
【解析】（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠CED（平行線的內錯角），而∠AFD和∠C是等角的補角，由此可判定兩個三角形相似；
（2）由（1）知△ADF∽△DEC，根據相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可求出DE的長，再利用勾股定理即可求出AE的長．
【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念和相似三角形的判定與性質，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．