Question

如圖1，點O是邊長為1的等邊△ABC內的任一點，設∠AOB=°，∠BOC=°

（1）將△BOC繞點C沿順時針方向旋轉60°得△ADC，連結OD,如圖2所示. 求證：OD=OC。

（2）在（1）的基礎上，將△ABC繞點C沿順時針方向旋轉60°得△EAC，連結DE，如圖3所示. 求證：OA=DE

（3）在（2）的基礎上， 當、滿足什么關系時，點B、O、D、E在同一直線上。并直接寫出AO+BO+CO的最小值。

 

Answer 1

【答案】

（1）根據旋轉的性質可得CO=CD，∠DOC=60°，即得△COD是等邊三角形，問題得證；（2）根據旋轉的性質可得△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，則可得AD=BO，∠DAC=∠OBC，EA=AB，∠EAC=∠ABC，即可證得△EAD≌△ABO，問題得證；（3）

【解析】

試題分析：（1）根據旋轉的性質可得CO=CD，∠DOC=60°，即得△COD是等邊三角形，問題得證；

（2）根據旋轉的性質可得△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，則可得AD=BO，∠DAC=∠OBC，EA=AB，∠EAC=∠ABC，即可證得△EAD≌△ABO，問題得證；

（3）根據全等三角形的性質可得∠ADC=∠BOC=，∠EDA=∠AOB=，即得∠CDE=，由△COD是等邊三角形可得∠COD=∠CDO=60°，若點B、O、D、E在同一直線上，則∠BOC=∠CDE=120°，即，得 ，從而可以求得結果．

（1）∵△BOC繞點C沿順時針方向旋轉60°得△ADC

∴CO=CD，∠DOC=60°

∴△COD是等邊三角形 

∴OD=OC；

（2）∵△BOC繞點C沿順時針方向旋轉60°得△ADC

△ABC繞點C沿順時針方向旋轉60°得△EAC

∴△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC

∴AD=BO，∠DAC=∠OBC，EA=AB，∠EAC=∠ABC

∴∠EAC-∠DAC=∠ABC-∠OBC即∠DAE=∠OBA

∴△EAD≌△ABO  

∴OA=DE；

（3）∵△ADC≌△BOC，△EAD≌△ABO 

∴∠ADC=∠BOC=，∠EDA=∠AOB=

∴∠CDE=  

∵△COD是等邊三角形 

∴∠COD=∠CDO=60°

若點B、O、D、E在同一直線上，則∠BOC=∠CDE=120°

即，得 

AO+BO+CO的最小值為．

考點：旋轉問題的綜合題

點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.