Question

【題目】在△ABC中,AB=AC,點D為射線CB上一個動點(不與B、C重合),以AD為一邊在AD的右側作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,過點E作EF∥BC,交直線AC于點F,連接CE.

⑴如圖1,若∠BAC=60°,求證：△CEF是等邊三角形.

⑵若∠BAC＜60°.

①如圖2,當點D在線段CB上移動時，判斷△CEF為等腰三角形并證明;

②當點D在線段CB的延長線上移動時,△CEF是什么三角形?請你在圖3中畫出相應的圖形并直接寫出結論(不必證明).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①證明見解析；②△CEF為等腰三角形，證明見解析

【解析】

（1）根據題意推出△ABC為等邊三角形，然后通過求證△ABD≌△ACE，結合平行線的性質，即可證得結論；

（2）①根據（1）的推理依據，求證△ABD≌△ACE，結合平行線的性質，即可證得結論；

②根據題意畫出圖形，利用（1）的推理依據，求證△ABD≌△ACE，再利用等角的補角相等，，結合平行線的性質，即可證得結論.

證明：⑴ ∵AB=AC，∠BAC=60

∴△ABC為等邊三角形，

在△ABD和△ACE中:

∠BAD=60-∠DAC

∠CAE=60O-∠DAC

∴ ∠BAD=∠CAE

又∵AB=AC，AD=AE

∴△ABD≌△ACE

∴∠ACE= ∠ABD=60

又∵ EF∥BC

∴∠EFC= ∠ACB=60

∴∠FEC=60

∴△CEF是等邊三角形

⑵ ①△CEF為等腰三角形，理由如下：

∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB

在△ABD和△ACE中:

∠BAD=∠BAC-∠DAC

∠CAE=∠DAE-∠DAC

而∠DAE=∠BAC

∴ ∠BAD=∠CAE

又∵AB=AC，AD=AE

∴△ABD≌△ACE

∴∠ABC=∠ACE

又∵EF∥BC

∴ ∠EFC= ∠ACB

而∠ABC=∠ACB

∴∠EFC= ∠ECF

所以，△CEF為等腰三角形.

②當點D在線段CB的延長線上時 ，

△CEF為等腰三角形,如圖3

理由如下：

∵AB=AC

∴ ∠ABC=∠ACB

在△ABD和△ACE中:

∠BAD=∠DAE -∠BAE

∠CAE=∠BAC -∠BAE

而∠DAE=∠BAC

∴ ∠BAD=∠CAE

又∵AB=AC，AD=AE

∴△ABD≌△ACE

∴∠ABD=∠ACE

∴∠ABC=∠ECF (等角的補角相等)

又∵EF∥BC

∴∠EFC= ∠ACB

而∠ABC=∠ACB

∴∠EFC= ∠ECF

所以，△CEF為等腰三角形.