Question

【題目】某校九年級(jí)數(shù)學(xué)小組在課外活動(dòng)中，研究了同一坐標(biāo)系中兩個(gè)反比例函數(shù)與 在第一象限圖象的性質(zhì)，經(jīng)歷了如下探究過(guò)程：

操作猜想：

（1）如圖①，當(dāng)，時(shí)，在軸的正方向上取一點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，交于點(diǎn).當(dāng)時(shí)，________，________，________；當(dāng)時(shí)，________，________，________；當(dāng)時(shí)，猜想________.

數(shù)學(xué)思考：

（2）在軸的正方向上任意取點(diǎn)作軸的平行線，交于點(diǎn)、交于點(diǎn)，請(qǐng)用含、的式子表示的值，并利用圖②加以證明.

推廣應(yīng)用：

（3）如圖③，若，，在軸的正方向上分別取點(diǎn)、 作軸的平行線，交于點(diǎn)、，交于點(diǎn)、，是否存在四邊形是正方形？如果存在，求的長(zhǎng)和點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，，，；，，，；（2），理由見(jiàn)解析；（3）存在，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）只需根據(jù)ABOA=2及ACOA=6就可解決問(wèn)題；

（2）由AB·OA=k1，AC·OA=k2可得BC·OA= k2-k1，就可得到；

（3）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，b）(a>0，b>0)，則有DF=DA=AB=a，OA=b，從而可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)（a，a+b），由k2=12及，可求得k1=8，根據(jù)點(diǎn)B、F分別在兩支圖像上，可得到ab=8，a（a+b）=12，從而求出a，b的值

（1）當(dāng)OA=1時(shí),由ABOA=2得AB=2,由ACOA=6得AC=6,則有BC=ACAB=4,所以=2；

當(dāng)OA=3時(shí),由ABOA=2得AB=,由ACOA=6得AC=2,則有BC=ACAB=,所以=2；

當(dāng)時(shí)，猜想.

（2）

證明：∵，，

∴，

∴ .

（3）若四邊形是正方形，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），

則有，，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

∵，，

∴，

解得：.

∵點(diǎn)在圖象上，點(diǎn)在圖象上，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為.