Question

【題目】如圖，在矩形中，點在對角線上，以的長為半徑的圓與分別交于點，且．

（1）求證：是圓所在圓的切線；

（2）若，，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2).

【解析】分析：

（1）如下圖，連接OE，由已知條件易證∠DAC=∠ACB=∠DCE，∠AEO=∠DAC，由此可得∠AEO=∠DCE，結合∠DCE+∠AEC=90°，可得∠AEO+∠DEC=90°從而可得∠CEO=180°-90°=90°，由此可得OE⊥CE，從而可得OE是⊙O的切線；

（2）由tan∠BAC=，BC=2可得AB=由此可得CD=，AC=，由∠DCE=∠ACB可得tan∠DCE=tan∠ACB=，則DE=DCtan∠DCE=1，這樣在Rt△DCE中可得CE=，設⊙O的半徑為r，在Rt△CEO中由勾股定理建立方程，解方程即可求得r的值.

詳解：

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；

又∵∠ACB=∠DCE，

∴∠DAC=∠DCE，

連接OE，則∠DAC=∠AEO=∠DCE，

∵∠DCE+∠DEC=90°，

∴∠AEO+∠DEC=90°，

∴∠OEC=90°，即OE⊥CE，

又OE是⊙O的半徑，

∴直線CE與⊙O相切 ；

（2）∵tan∠BAC=，BC=2，

∴AB =，

∴AC=，

∵∠DCE=∠ACB，

∴tan∠DCE=tan∠ACB=，

∴DE=DCtan∠DCE=1，

在Rt△CDE中，CE= ，

設⊙O的半徑為r，則在Rt△COE中，CO2=OE2+CE2，

即，

解得：.