Question

【題目】如圖，線段AB，A（2，3），B（5，3），拋物線y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1與x軸的兩個交點分別為C，D（點C在點D的左側）

（1）求m為何值時拋物線過原點，并求出此時拋物線的解析式及對稱軸和項點坐標．

（2）設拋物線的頂點為P，m為何值時△PCD的面積最大，最大面積是多少．

（3）將線段AB沿y軸向下平移n個單位，求當m與n有怎樣的關系時，拋物線能把線段AB分成1：2兩部分．

Answer 1

【答案】（1）當m＝0或m＝2時，拋物線過原點，此時拋物線的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+1，對稱軸為直線x＝1，頂點為（1，1）；（2）m為1時△PCD的面積最大，最大面積是2；（3）n＝m2﹣2m+6或n＝m2﹣2m+11．

【解析】

（1）根據拋物線過原點和題目中的函數解析式可以求得m的值，并求出此時拋物線的解析式及對稱軸和項點坐標；

（2）根據題目中的函數解析式和二次函數的性質，可以求得m為何值時△PCD的面積最大，求得點C、D的坐標，由此求出△PCD的面積最大值；

（3）根據題意拋物線能把線段AB分成1：2，存在兩種情況，求出兩種情況下線段AB與拋物線的交點，即可得到當m與n有怎樣的關系時，拋物線能把線段AB分成1：2兩部分．

（1）當y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1過原點（0，0）時，0＝﹣1﹣m2+2m+1，得m1＝0，m2＝2，

當m1＝0時，y＝﹣（x﹣1）2+1，

當m2＝2時，y＝﹣（x﹣1）2+1，

由上可得，當m＝0或m＝2時，拋物線過原點，此時拋物線的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+1，對稱軸為直線x＝1，頂點為（1，1）；

（2）∵拋物線y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1，

∴該拋物線的頂點P為（1，﹣m2+2m+1），

當﹣m2+2m+1最大時，△PCD的面積最大，

∵﹣m2+2m+1＝﹣（m﹣1）2+2，

∴當m＝1時，﹣m2+2m+1最大為2，

∴y＝﹣（x﹣1）2+2，

當y＝0時，0＝﹣（x﹣1）2+2，得x1＝1+，x2＝1﹣，

∴點C的坐標為（1﹣，0），點D的坐標為（1+，0）

∴CD＝（1+）﹣（1﹣）＝2，

∴S△PCD＝＝2，

即m為1時△PCD的面積最大，最大面積是2；

（3）將線段AB沿y軸向下平移n個單位A（2，3﹣n），B（5，3﹣n）

當線段AB分成1：2兩部分，則點（3，3﹣n）或（4，3﹣n）在該拋物線解析式上，

把（3，3﹣n）代入拋物線解析式得，

3﹣n＝﹣（3﹣1）2﹣m2+3m+1，

得n＝m2﹣2m+6；

把（4，3﹣n）代入拋物線解析式，得

3﹣n＝﹣（3﹣1）2﹣m2+3m+1，

得n＝m2﹣2m+11；

∴n＝m2﹣2m+6或n＝m2﹣2m+11．