Question

11．已知直線y=（1-k₁）x+2和雙曲線y=$\frac{{k}_{2}}{x}$交于A，B兩點，其中A點的坐標為（2，4），求：
（1）k₁和k₂的值，及B點的坐標，并畫出函數圖象；
（2）求S_△AOB的值．

Answer 1

分析 （1）根據點A的坐標利用待定系數法即可求出k₁和k₂的值，從而得出直線與雙曲線的解析式，聯立兩函數解析式成方程組，解方程組即可求出點B的坐標；
（2）令直線AB解析式中x=0可得出點C的坐標，根據三角形的面積公式即可求出S_△AOB的值．

解答 解：（1）將A（2，4）代入y=（1-k₁）x+2中，
4=2（1-k₁）+2，解得：k₁=0
∴直線的解析式為y=x+2；
將A（2，4）代入y=$\frac{{k}_{2}}{x}$中，
4=$\frac{{k}_{2}}{2}$，解得：k₂=8，
∴雙曲線的解析式為y=$\frac{8}{x}$．
聯立直線與雙曲線解析式成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{8}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-4}\\{{y}_{1}=-2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=4}\end{array}\right.$，
∴點B的坐標為（-4，-2）．
畫出函數圖象，如圖所示．
（2）令x=0，則y=x+2=2，
∴點C的坐標為（0，2），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OC•（x_A-x_B）=$\frac{1}{2}$×2×[2-（-4）]=6．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、待定系數法求函數解析式以及三角形的面積，根據點A的坐標利用待定系數法求出k₁和k₂的值是解題的關鍵．