Question

（2013年四川南充8分）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P為BC邊上一點（不與B，C重合），過點P作∠APE＝∠B，PE交CD 于E.

（1）求證:△APB∽△PEC;
（2）若CE＝3,求BP的長.

Answer 1

解：（1）證明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C=60°。
∵∠APC=∠B+∠BAP，∴∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP。
∵∠APE=∠B，∴∠BAP=∠EPC。
∴△APB∽△PEC。
（2）過點A作AF∥CD交BC于點F，則四邊形ADCF是平行四邊形，△ABF為等邊三角形，

∴CF=AD=3，AB=BF=7-3=4。
∵△APB∽△PEC，∴。
設BP=x，則PC=7-x，
∵EC=3，AB=4，∴。
解得：x₁=3，x₂=4，
經檢驗：x₁=3，x₂=4是原分式方程的解。
∴BP的長為：3或4。

（1）由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，可得∠B=∠C=60°，又由∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，∠APE=∠B，可證得∠BAP=∠EPC，根據有兩角對應相等的三角形相似，即可證得：△APB∽△PEC。
（2）首先過點A作AF∥CD交BC于點F，則四邊形ADCF是平行四邊形，△ABF為等邊三角形，又由△APB∽△PEC，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案。