Question

（2013•朝陽區一模）如圖，AB為⊙O的直徑，BC是弦，OE⊥BC，垂足為F，且與⊙O相交于點E，連接CE、AE，延長OE到點D，使∠ODB=∠AEC．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若cosD=

4

5

，BC=8，求AB的長．

Answer 1

分析：（1）由同弧所對的圓周角相等得到∠AEC=∠ABC，再由已知∠ODB=∠AEC，等量代換得到∠ABC=∠ODB，在直角三角形BDF中，利用直角三角形兩銳角互余得到一對角互余，等量代換得到∠OBD為直角，即可得到BD是圓O的切線；
（2）由OE垂直于BC，利用垂徑定理得到BF為BC的一半，求出BF的長，由∠ODB=∠ABC，得到cosD=cos∠ABC，在直角三角形OBF中，由已知cosD的值及BF的長，利用銳角三角函數定義求出OB的長，即可求出AB的長．

解答：（1）證明：∵∠AEC與∠ABC都對

AC

，
∴∠AEC=∠ABC，
∵∠ODB=∠AEC，
∴∠ABC=∠ODB，
在Rt△BDF中，∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
則BD是圓O的切線；
（2）解：∵OE⊥BC，
∴BF=CF=

1

2

BC=4，
∵∠ODB=∠ABC，
∴cosD=cos∠ABC=

4

5

，
在Rt△OBF中，cos∠ABC=

BF

OB

，
∴OB=

4

4 5

=5，
則AB=20B=10．

點評：此題考查了切線的判定，圓周角定理，銳角三角函數定義，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．