Question

【題目】探究:如圖①,在ABCD中,AC,BD交于點O,過點O的直線交AD于E,交BC于F.

（1）求證:OE=OF.
（2）求證:四邊形AEFB與四邊形DEFC的周長相等;
（3）直線EF是否將ABCD的面積二等分?
應用:張大爺家有一塊平行四邊形的菜園,園中有一口水井P,如圖②所示,張大爺計劃把菜園平均分成兩塊,分別種植西紅柿和茄子,且使兩塊地共用這口水井,請你幫助張大爺把地分開.

Answer 1

【答案】
（1）證明:∵在ABCD中,AD∥BC,OB=OD,
∴∠OBF=∠ODE.
又∵∠BOF=∠DOE,
∴△BOF≌△DOE.
∴OE=OF
（2）證明:由(1)知△BOF≌△DOE,
∴BF=DE.
∵在ABCD中,AD∥BC,OA=OC,
∴∠OAE=∠OCF.
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF.
∴AE=CF.
又∵在ABCD中,AB=CD,
四邊形AEFB的周長=AE+EF+BF+AB,
四邊形DEFC的周長=CF+EF+DE+CD,
∴四邊形AEFB與四邊形DEFC的周長相等
（3）解:由(1)(2)可知△BOF≌△DOE,△COF≌△AOE.
又易證△AOB≌△COD,
∴S四邊形AEFB=S四邊形DEFC.
即直線EF將ABCD的面積二等分.
應用:連接AC,BD交于點O,作直線OP,則直線OP兩旁的四邊形面積相等(圖略).
【解析】（1）要證OE=OF，可通過證明OE、OF所在的△AOE與△COF全等，根據平行四邊形的性質可得AD∥BC，OA=OC，從而得到∠EAO=∠FCO，再由對頂角∠EOA=∠FOC，即可得到△BOF≌△DOE，從而證得結論。
（2）要證四邊形AEFB與四邊形DEFC的周長相等，根據圖形可以看到兩四邊形由公共邊EF，只要證明AE+BF+AB=ED+FC+DC即可，而由平行四邊形的性質可得AB=CD，從而只要證明AE+BF=ED+CF即可，而由（1）中△AOE≌△COF可得AE=CF，從而AE+BF=CF+BF=CB，ED+CF=ED+AE=AD，由平行四邊形的性質可得AD=BC，從而問題得到解決。
（3）由平行四邊形的性質很容易得到△BOF≌△DOE,△COF≌△AOE，△AOB≌△COD,全等三角形的面積相等，所以△ABC與△CDA的面積也相等且都為平行四邊形面積的一半，然后等量代換即可解決此問題。