Question

（2012•阜寧縣一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，過A點作AG∥DB，交CB的延長線于點G．
（1）求證：DE∥BF；
（2）若∠G=90，求證：四邊形DEBF是菱形．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB∥CD，AB=CD，又由E、F分別為邊AB、CD的中點，易得DF∥BE，DF=BE，即可判定四邊形DEBF為平行四邊形，則可證得DE∥BF；
（2）由∠G=90°，AG∥DB，易證得△DBC為直角三角形，又由F為邊CD的中點，即可得BF=

1

2

DC=DF，則可證得：四邊形DEBF是菱形．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E、F分別為AB、CD的中點，
∴DF=

1

2

DC，BE=

1

2

AB，
∴DF∥BE，DF=BE，
∴四邊形DEBF為平行四邊形，
∴DE∥BF；

（2）∵AG∥BD，
∴∠G=∠DBC=90°，
∴△DBC為直角三角形，
又∵F為邊CD的中點．
∴BF=

1

2

DC=DF，
又∵四邊形DEBF為平行四邊形，
∴四邊形DEBF是菱形．

點評：此題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質以及直角三角形的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．