Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點A(-1，0)、B(3，0)、C(0,3)三點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M是線段BC上的點(不與B、C重合)，過M作MN//y軸交拋物線于N,若點M的橫坐標為m，請用m的代數式表示MN的長；

（3）在(2)的條件下，是否存在m，使MN的長度最大？若存在，求m的值，幷求出此時點M和N的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．(2) ﹣m2+3m（0＜m＜3）．(3)m=1.5；M(1.5，1.5) N(1.5， )

【解析】試題分析：（1）已知了拋物線上的三個點的坐標，直接利用待定系數法即可求出拋物線的解析式．
（2）先利用待定系數法求出直線BC的解析式，已知點M的橫坐標，代入直線BC、拋物線的解析式中，可得到M、N點的坐標，N、M縱坐標的差的絕對值即為MN的長．

（3）通過配方即可求值.

試題解析：（1）設拋物線的解析式為：y=a(x+1)(x﹣3)，則：a(0+1)(0﹣3)=3，a=﹣1；∴拋物線的解析式：y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3．

（2）設直線BC的解析式為：y=kx+b，則有： ，解得 ；

故直線BC的解析式：y=﹣x+3．

已知點M的橫坐標為m，則M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；

∴故N=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m（0＜m＜3）．

（3當m=-=1.5時，MN的長度最大。

當m=1.5時，-m+3=1.5

﹣m2+2m+3=

∴M(1.5，1.5) N(1.5， )