Question

【題目】問題：如圖①，在等邊三角形ABC內有一點P，且PA＝2，PB=，PC＝1，求∠BPC的度數和等邊三角形ABC的邊長．

李明同學的思路是：將△BPC繞點B逆時針旋轉60°，畫出旋轉后的圖形(如圖②)，連接PP′，可得△P′PB是等邊三角形，而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可證)，可得∠AP′B＝ °，所以∠BPC＝∠AP′B＝ °，還可證得△ABP是直角三角形，進而求出等邊三角形ABC的邊長為 ，問題得到解決．

（1）根據李明同學的思路填空：∠AP′B＝ °，∠BPC＝∠AP′B＝ °，等邊三角形ABC的邊長為 ．

（2）探究并解決下列問題：如圖③，在正方形ABCD內有一點P，且PA＝，PB＝，PC＝1.求∠BPC的度數和正方形ABCD的邊長．

Answer 1

【答案】（1）∠AP′B＝150°，∠BPC＝∠AP′B＝150°，等邊三角形ABC的邊長為；（2）∠BPC＝135°，正方形ABCD的邊長為.

【解析】

根據旋轉得出AP′=CP=1，BP′=BP=，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，求出∠ABP′+∠ABP=60°，得到等邊△BPP′，推出PP′=，∠BP′P=60°，求出∠AP′P=90°即可求出∠BPC；過點B作BM⊥AP′，交AP′的延長線于點M，由∠MP′B=30°，求出BM=，P′M=，根據勾股定理即可求出答案；

（2）求出∠BEP=（180°-90°）=45°，根據勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°，推出∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°；過點B作BF⊥AE，交AE的延長線于點F，求出FE=BF=1，AF=2，關鍵勾股定理即可求出AB．

（1）∵等邊△ABC，

∴∠ABC=60°，

將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得出△ABP′，

∴AP′=CP=1，BP′=BP=，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，

∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，

∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°，

∴△BPP′是等邊三角形，

∴PP′=，∠BP′P=60°，

∵AP′=1，AP=2，

∴AP′2+PP′2=AP2，

∴∠AP′P=90°，

∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°，

過點B作BM⊥AP′，交AP′的延長線于點M，

∴∠MP′B=30°，BM=，

由勾股定理得：P′M=，

∴AM=1+=，

由勾股定理得：AB=，

故答案為：150°，．

（2）將△BPC繞點B逆時針旋轉90°得到△AEB，

與（1）類似：可得：AE=PC=1，BE=BP=，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，

∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°，

∴∠BEP=（180°-90°）=45°，

由勾股定理得：EP=2，

∵AE=1，AP=，EP=2，

∴AE2+PE2=AP2，

∴∠AEP=90°，

∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°，

過點B作BF⊥AE，交AE的延長線于點F；

∴∠FEB=45°，

∴FE=BF=1，

∴AF=2；

∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB=；

∴∠BPC=135°，正方形邊長為．

答：∠BPC的度數是135°，正方形ABCD的邊長是．