Question

【題目】如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF．

（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）直接寫出AB+AC與AE之間的等量關系．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴∠E=∠DFC=90°，

∴△BDE與△CDE均為直角三角形，

∵

∴△BDE≌△CDF，

∴DE=DF，即AD平分∠BAC

（2）AB+AC=2AE．

證明：∵BE=CF，AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠CAD，

∵∠E=∠AFD=90°，

∴∠ADE=∠ADF，

在△AED與△AFD中，

∵ ，

∴△AED≌△AFD，

∴AE=AF，

∴AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE

【解析】（1）根據相“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE=DF，所以AD平分∠BAC；（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE=CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE=AF，故AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE．
【考點精析】掌握角平分線的性質定理是解答本題的根本，需要知道定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上．