Question

【題目】綜合與實踐

背景閱讀：旋轉就是將圖形上的每一點在平面內繞著旋轉中心旋轉固定角度的位置移動，其中“旋”是過程，“轉”是結果．旋轉作為圖形變換的一種，具備圖形旋轉前后對應點到旋轉中心的距離相等：對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角：旋轉前、后的圖形是全等圖形等性質．所以充分運用這些性質是在解決有關旋轉問題的關健．

實踐操作：如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝12，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連接DE，將△EDC繞點C按順時針方向旋轉，記旋轉角為α．

問題解決：（1）①當α＝0°時，＝　 　；②當α＝180°時，＝　 　．

（2）試判斷：當0°≤a＜360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．

問題再探：（3）當△EDC旋轉至A，D，E三點共線時，求得線段BD的長為　 　．

Answer 1

【答案】（1）①，②；（2）無變化，證明見解析；（3）6或．

【解析】

問題解決：（1）①根據三角形中位線定理可得：BD=CDBC=6，AE=CEAC=3，即可求出的值；

②先求出BD，AE的長，即可求出的值；

（2）證明△ECA∽△DCB，可得；

問題再探：（3）分兩種情況討論，由矩形的判定和性質以及相似三角形的性質可求BD的長．

問題解決：

（1）①當α=0°時．

∵BC=2AB=12，

∴AB=6，

∴AC6，

∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，

∴BD=CDBC=6，AE=CEAC=3，DEAB，

∴．

故答案為：；

②如圖1．

，

當α=180°時．

∵將△EDC繞點C按順時針方向旋轉，

∴CD=6，CE=3，

∴AE=AC+CE=9，BD=BC+CD=18，

∴．

故答案為：．

（2）如圖2，

，

當0°≤α＜360°時，的大小沒有變化．證明如下：

∵∠ECD=∠ACB，

∴∠ECA=∠DCB，

又∵，

∴△ECA∽△DCB，

∴．

問題再探：

（3）分兩種情況討論：

①如圖3．

．

∵AC=6，CD=6，CD⊥AD，

∴AD12．

∵AD=BC，AB=DC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形．

∵∠B=90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

∴BD=AC=6

②如圖4，連接BD，過點D作AC的垂線交AC于點Q，過點B作AC的垂線交AC于點P．

∵AC=6，CD=6，CD⊥AD，

∴AD12．

在Rt△CDE中，DE==3，

∴AE=AD﹣DE=12﹣3=9，

由（2）可得：，

∴BD．

綜上所述：BD=6或．

故答案為：6或．