Question

【題目】如圖1，P為Rt△ABC所在平面內(nèi)任意一點(不在直線AC上)，∠ACB=90°，M為AB邊中點．操作：以PA、PC為鄰邊作平行四邊形PADC，連結(jié)PM并延長到點E，使ME=PM，連結(jié)DE．

（1）請你利用圖2，選擇Rt△ABC內(nèi)的任意一點P按上述方法操作；

（2）經(jīng)歷（1）之后，觀察兩圖形，猜想線段DE和線段BC之間有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請選擇其中的一個圖形證明你的猜想；

（3）觀察兩圖，你還可得出AC和DE相關(guān)的什么結(jié)論？請說明理由．

（4）若以A為坐標原點，建立平面直角坐標系，其中A、C、D的坐標分別為（0，0），（5，3），（4，2），能否在平面內(nèi)找到一點M，使以A、C、D、M為點構(gòu)造成平行四邊形，若不能，說明理由，若能，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DE//BC；DE=BC；（3）DE⊥AC；（4）M（1，1）或（-1，-1）或（9，5）．

【解析】

（1）根據(jù)圖1的構(gòu)圖條件，在Rt△ABC內(nèi)的任取一點P，作圖即可；

（2）連接BE，根據(jù)邊角邊可證△PAM和△EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而PA和CD既平行且相等，所以DE和BC平行相等，

（3）由（2）得BC⊥AC，DE∥BC，所以DE也和AC垂直；

（4）以A、C、D、M為點構(gòu)造成平行四邊形的頂點順序沒定，故有三種情況：分別過點A，C，D作線段CD，AD，AC的平行線，三條直線的交點即為能以A、C、D、M為點構(gòu)造成平行四邊形的點M的位置，再利用平行四邊形的性質(zhì)及平移知識即可求得點M 的坐標

解：（1）作圖如圖2：

（2）觀察圖1，圖2，猜想線段DE和線段BC數(shù)量和位置關(guān)系為：DE=BC，DE//BC；

選擇圖1，證明如下：

連接BE，

∵PM=ME，∠PMA=∠EMB，AM=MB，

∴△PMA≌△EMB．（SAS）

∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，

∴PA∥BE．

∵平行四邊形PADC，

∴PA∥DC，PA=DC．

∴BE∥DC，BE=DC，

∴四邊形DEBC是平行四邊形．

∴DE∥BC，DE=BC．

（3）猜想DE⊥AC；理由如下：

∵∠ACB=90°，

∴BC⊥AC，

又∵DE∥BC，（已證）

∴DE⊥AC．

（3）如圖3

分別過點A，C，D作線段CD，AD，AC的平行線,三條直線分別相交于點 ,則得到即為滿足條件的點M，使以A、C、D、M為點構(gòu)造成平行四邊形.理由如下：

∵AC//DM1，CD//AM1，

∴四邊形ACDM1為平行四邊形，

同理可得：四邊形ACM2D為平行四邊形，四邊形ADCM3為平行四邊形.

設(shè)M1的坐標為（x,y）,

由于四邊形ACDM1為平行四邊形，

∴AC//M1D,AC=M1D.可以看做線段AC經(jīng)過適當?shù)钠揭频骄�段M1D.

C與D為對應(yīng)點，A與M1為對應(yīng)點，

易知：點C(5,3)向左平移一個單位，向下平移一個單位得到D(4,2).

故點A也向左平移一個單位，向下平移一個單位得到M1(x,y),即

0-1=x，0-1=y，所以x=-1，y=-1.點M1的坐標為（-1，-1），同理可得

M2的坐標為（9,5），M3的坐標為（1,1）.

故存在M點，分別為（1，1）或（-1，-1）或（9，5）．使以A、C、D、M為點構(gòu)造成平行四邊形