Question

【題目】如圖a，已知拋物線y=－x2+bx+c經過點A(4，0) 、C(0，2)，與x軸的另一個交點為B.

（1）求出拋物線的解析式.

（2）如圖b，將△ABC繞AB的中點M旋轉180°得到△BAC′，試判斷四邊形BC′AC的形狀.并證明你的結論.

（3）如圖a,在拋物線上是否存在點D，使得以A、B、D三點為頂點的三角形與△ABC全等？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=－x2+x+2；（2）四邊形BC′AC為矩形，見解析；（3）存在，（3，2）

【解析】

（1）由點A、C的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）由點A、B、C的坐標可得出OA、OC、OB的長度，利用勾股定理可求出AC、BC的長，由AC2+BC2=25=AB2可得出∠ACB=90°，再利用旋轉的性質即可找出四邊形BC′AC為矩形；

（3）假設存在這樣的點D，設D（x, －x2+x+2），則有－x2+x+2=2，求出x的值再進行判斷即可.

（1）∵拋物線y=－x2+bx+c經過點A(4，0) 、C(0，2)，

∴

解得，

∴拋物線的解析式為：y=－x2+x+2

（2）四邊形BC′AC為矩形.

令y=0，則－x2+x+2=0，解得，

∴B（－1，0）

∵A(4，0) 、C(0，2)，

∴OB=1，OA=4，OC=2，

由勾股定理求得：BC=,AC=2

又AB=5，

∴

∴△ABC直角三角形，∠BCA=90°，

∵△ABC繞AB的中點M旋轉180°得到△BAC′，則A、B互為對應點，由旋轉的性質可得：BC=AC'，AC=BC'

∴四邊形BC′AC為平行四邊形，

又∠BCA=90°

∴四邊形BC′AC為矩形.

（3）設D（x, －x2+x+2），則有－x2+x+2=2，

解得，，（不符合題意，舍去），

∴D（3，2）

故存在點D，使得以A、B、D三點為頂點的三角形與△ABC全等.點D的坐標為（3，2）.