Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，過對角線BD中點的直線交AD、BC邊于F、E．

（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；

（2）當四邊形BEDF是菱形時，寫出EF與BD的關系．

（3）若∠A＝60°，AB＝4，BC＝6，四邊形BEDF是矩形，求該矩形的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EF與BD互相垂直平分；（3）矩形BEDF的面積為8．

【解析】

（1）根據平行四邊形ABCD的性質，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四邊形BEDF的對角線互相平分，進而得出結論；（2）根據根據菱形的性質作出判斷：EF與BD互相垂直平分；（3）根據Rt△ABF的邊角關系，求得BF和AF，再根據矩形的性質，求得DF的長，最后計算矩形的面積．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，O是BD中點，

∴BC∥AD，OB＝OD，

∴∠OBE＝∠ODF，

又∵∠BOE＝∠DOF，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴EO＝FO，

∴四邊形BEDF是平行四邊形；

（2）當四邊形BEDF是菱形時，根據菱形的性質可得：EF與BD互相垂直平分；

（3）∵四邊形BEDF是矩形

∴∠AFB＝90°

又∵∠A＝60°，

∴∠ABF＝30°，

∴AF＝AB＝×4＝2，

∴Rt△ABF中，BF＝2 ，

又∵AD＝BC＝6，

∴DF＝6﹣2＝4，

∴矩形BEDF的面積＝BF×DF＝2×4＝8．