Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2﹣4ax+b經過點A（1，0），與x軸交于點B，與y軸交于點C，且OB＝OC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將△OAC沿AC翻折得到△ACE，直線AE交拋物線于點P，求點P的坐標；

（3）如圖2，點M為直線BC上一點（不與B、C重合），連OM，將OM繞O點旋轉90°，得到線段ON，是否存在這樣的點N，使點N恰好在拋物線上？若存在，求出點N的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3．（2）點P（）；（3）存在符合條件的N點，且坐標為N（2，1）或（5，﹣8）．

【解析】

（1）根據拋物線的解析式，可得拋物線的對稱軸方程，進而可根據點A的坐標表示出點B的坐標，已知OB=OC，即可得到點C的坐標，從而利用待定系數法求得拋物線的解析式．

（2）點P為直線AE和拋物線的交點，欲求點P，必須先求出直線AE的解析式；設直線AE與y軸的交點為F，易得△FOA∽△FEC，由于OA=1，EC=3，根據相似三角形的對應邊成比例即可得到FE=3OF，設OF=x，則EF=3x，AF=3x-1，進而可在Rt△FOA中求出x的值，也就能求出F點的坐標，然后利用待定系數法求出直線AE的解析式，聯立拋物線的解析式即可得到點P的坐標．

（3）此題應分三種情況討論：

①當點M在第一象限時，可設M（a，a-3），由于ON是由OM旋轉90°而得，因此△OMN是等腰直角三角形，分別過M、N作MG、NH垂直于x軸，即可證得△OMG≌△NOH，得MG=OH，NH=OG，由此可表示出N點的坐標，然后將其代入拋物線的解析式中，即可求得點M、N的坐標；

②當點M在第三象限，④點M在第四象限時，解法同①．

（1）由題意知：拋物線的對稱軸為：x=2，則B（3，0）；

已知OB=OC=3，則C（0，-3）；

設拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3），依題意有：

a（0-1）（0-3）=-3，a=-1；

故拋物線的解析式為：y=-x2+4x-3．

（2）設AE交y軸于點F；

易證得△FOA∽△FEC，有，

設OF＝x，則EF＝3x，

所以FA＝3x﹣1；

在Rt△FOA中，由勾股定理得：

（3x﹣1）2＝x2+1，

解得x＝；

即OF＝，F（0，）；

求得直線AE為y＝﹣x+，

聯立拋物線的解析式得：，

解得，；

故點P（，）．

（3）∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴直線BC：y＝x﹣3；

設點M（a，a﹣3），則：

①當點M在第一象限時，OG＝a，MG＝a﹣3；

過M作MG⊥x軸于G，過N作NH⊥x軸于H；

根據旋轉的性質知：∠MON＝90°，OM＝ON，

則可證得△MOG≌△NOH，得：

OG＝NH＝a，OH＝MG＝a﹣3，

故N（a﹣3，﹣a），

將其代入拋物線的解析式中，得：

﹣（a﹣3）2+4（a﹣3）﹣3＝﹣a，

整理得：a2﹣11a+24＝0，

a＝3（舍去），a＝8；

故M（8，5），N（5，﹣8）．

②當點M在第三象限時，OG＝﹣a，MG＝3﹣a；

同①可得：MG＝OH＝3﹣a，OG＝NH＝﹣a，則N（3﹣a，a），代入拋物線的解析式可得：

﹣（3﹣a）2+4（3﹣a）﹣3＝a，

整理得：a2﹣a＝0，故a＝0，a＝1；

由于點M在第三象限，

所以a＜0，

故a＝0、a＝1均不合題意，此種情況不成立；

③當點M在第四象限時，OG＝a，MG＝3﹣a；

同①得：N（3﹣a，a），在②中已經求得此時a＝0（舍去），a＝1；

故M（1，﹣2），N（2，1）；

綜上可知：存在符合條件的N點，且坐標為N（2，1）或（5，﹣8）．