Question

【題目】已知拋物線y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），與x軸從左至右依次相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，經過點A的直線y=﹣x+b與拋物線的另一個交點為D．

（1）若點D的橫坐標為2，求拋物線的函數解析式；

（2）若在第三象限內的拋物線上有點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABC相似，求點P的坐標；

（3）在（1）的條件下，設點E是線段AD上的一點（不含端點），連接BE．一動點Q從點B出發，沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E，再沿線段ED以每秒個單位的速度運動到點D后停止，問當點E的坐標是多少時，點Q在整個運動過程中所用時間最少？

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x2﹣2x+3；(2) P的坐標為（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣）；(3) （1，﹣4）.

【解析】

試題分析：（1）根據二次函數的交點式確定點A、B的坐標，求出直線的解析式，求出點D的坐標，求出拋物線的解析式；（2）作PH⊥x軸于H，設點P的坐標為（m，n），分△BPA∽△ABC和△PBA∽△ABC，根據相似三角形的性質計算即可；（3）作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，根據正切的定義求出Q的運動時間t=BE+EF時，t最小即可．

試題解析：（1）∵y=a（x+3）（x﹣1），

∴點A的坐標為（﹣3，0）、點B兩的坐標為（1，0），

∵直線y=﹣x+b經過點A，

∴b=﹣3，

∴y=﹣x﹣3，

當x=2時，y=﹣5，

則點D的坐標為（2，﹣5），

∵點D在拋物線上，

∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5，

解得，a=﹣，

則拋物線的解析式為y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；

（2）作PH⊥x軸于H，

設點P的坐標為（m，n），

當△BPA∽△ABC時，∠BAC=∠PBA，

∴tan∠BAC=tan∠PBA，即=，

∴=，即n=﹣a（m﹣1），

∴，

解得，m1=﹣4，m2=1（不合題意，舍去），

當m=﹣4時，n=5a，

∵△BPA∽△ABC，

∴=，即AB2=ACPB，

∴42=，

解得，a1=（不合題意，舍去），a2=﹣，

則n=5a=﹣，

∴點P的坐標為（﹣4，﹣）；

當△PBA∽△ABC時，∠CBA=∠PBA，

∴tan∠CBA=tan∠PBA，即=，

∴=，即n=﹣3a（m﹣1），

∴，

解得，m1=﹣6，m2=1（不合題意，舍去），

當m=﹣6時，n=21a，

∵△PBA∽△ABC，

∴=，即AB2=BCPB，

∴42=，

解得，a1=（不合題意，舍去），a2=﹣，

則點P的坐標為（﹣6，﹣），

綜上所述，符合條件的點P的坐標為（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣）；

（3）作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，

則tan∠DAN===，

∴∠DAN=60°，

∴∠EDF=60°，

∴DE==EF，

∴Q的運動時間t=+=BE+EF，

∴當BE和EF共線時，t最小，

則BE⊥DM，E(1,﹣4)．