Question

【題目】如圖，是的直徑，點在上，點是弧的中點，交于點，點是延長線上一點，連接，且．

（1）試判斷直線與的位置關系，并說明理由；

（2）若，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

（1）連接OC，根據等邊對等角可得∠A=∠ACO，再根據∠PCB=∠A，可得∠ACO=∠PCB，再根據AB是⊙O的直徑，即可推出∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP，得證PC是⊙O的切線；

（2）連接OM，通過證明△BMC∽△NMB，可得，代入求得OB=2，從而根據弧長公式求得的長．

解：（1）直線PC與⊙O相切，理由是：連接OC，

∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO.

∵∠PCB=∠A，

∴∠ACO=∠PCB.

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACO+∠OCB=90°.

∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP.

∴PC是⊙O的切線

（2）連接OM，由點M是弧AB的中點，，得∠BOM=90°

∴∠ABM=∠BCM

∵∠BMC=∠BMN，

∴△BMC∽△NMB

∴，

∴.

∵MCMN=8，

∴BM=，求得OB=2，

從而求得的長為